Вычисление тангенса

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике называется отношением катеха против прилежащего.

Каты – это части, образующие в треугольнике прямой угол, соответственно гипотенуза – третья (самая длинная) сторона.

Для облегчения запоминания можно дать определение такого типа: угол тангенса — это отношение между категорией дальнего от катетера и соседним катетером.

В случае рисунка, описанного выше: TG⁡α = AB\TG\ALFA=\FRAC{A}{B} TGα=BA

Тангенс можно найти непосредственно с помощью этой формулы, а можно и с помощью тригонометрических тождеств. Разберем еще задачи.

В прямоугольном треугольнике каттс равен 6 см6 \ Text {см} 6 см и 8 см 8 \ Text {см} 8 см Найдите тангенс угла возле меньшей стороны.

Решение

а = 8а = 8а = 8

б=6Б=6Б=6

tg⁡α = ab = 86≈1,33 \tg \alpha = \frac {a}{b} = \frac {8}{6} \ приблизительно1,33tgα = ba = 68 ≈1,33

Отвечать

1 331 331,33

Формула:

tg⁡α=ab\tg\alpha=\frac{a}{b}tgα=ba​

Его можно записать следующим образом:

tg⁡α = sin⁡αcos⁡α \ tg \ альфа = \ frac {\ sin \ alpha}{\cos \ alpha} tgα = cosαsinα

Проверим истинность этого выражения. Подставим вместо синусов и косинусов их определения:

tg⁡α = sin⁡αcos⁡α = acbc = ab \tg \ alpha = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} = \ frac {\ frac {a} {c}} {\ frac {b } {c}} = \frac {a} {b} tgα = cosαsinα = cb ca = ba

Вы получили первичное равенство, а это значит, что выражение для тангенса через отношение синуса к косинусу верно.

Решим задачу по этой формуле.

В задаче известен косинус угла, равный 32 \frac {\sqrt {3}}{2} 23, и синус того же угла, равный 12 \frac {1}{2} 21. Найти тангенс этого угла.

Решение

cOS⁡α = 32 \COS \ ALPHA = \FRAC {\SQRT {3}}{2} COSα = 23

sin⁡α = 12 \sin\alpha = \frac {1}{2} sinα = 21

tg⁡α = sin⁡αcos⁡α = 1232 = 13 \tg \ alpha = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} = \ frac {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {3}}{2}} = \frac {1}{\sqrt {3}} tgα = cosαsinα = 23 21 = 3 1

Отвечать

13 \ frac {1} {\ sqrt {3}} 3 1

Еще одно тождество помогает решать проблемы, связанные с касательной:

1 + tg⁡2α = 1cos⁡2α1 + \tg^2 \alpha = \frac {1}{\cos^2\alpha} 1 + tg2α = cos2α1

Он появляется путем деления каждого дополнительного основного тождества тригонометрии на косинус в квадрате.

Квадрат косинуса угла прямоугольного треугольника известен, равен 0,80,80,8. Нам нужно найти тангенс этого угла.

Решение

cos⁡2α=0,8\cos^2\alpha=0,8cos2α=0,8

1 + tg⁡2α = 1cos⁡2α1 + \tg^2 \alpha = \frac {1}{\cos^2\alpha} 1 + tg2α = cos2α1

1 + tg⁡2α = 10,81 + \tg^2 \alpha = \frac {1}{0,8} 1 + tg2α = 0,81

1 + tg⁡2α = 1,251 + \ tg ^ 2 \ альфа = 1,251 + tg2α = 1,25

tg⁡2α=0,25\tg^2\альфа=0,25tg2α=0,25

tg⁡α = 0,25 \ tg \ альфа = \ sqrt {0,25} tgα = 0,25

tg⁡α = 0,5 \ tg \ альфа = 0,5tgα = 0,5

Отвечать

0.50.50.5

У вас возникли трудности с вычислением тангенса? Вы можете заказать домашнее задание по математике у наших специалистов!