Принцип практической уверенности
Пусть событие А может произойти в одном испытании, вероятность которого Pα достаточно мала.
Будем считать, что такое событие практически не возможно при однократном опыте. А противоположное событие Ā, вероятность которого равна 1-α близка к 1 будем считать практически достоверным.
Вероятность α, которой решено пренебречь называется уровнем значимости.
Уровень значимости устанавливается конкретно для каждого типа задач. Для экономических задач обычно полагают α = 0,5. если задача связана с риском для жизни или с высокой ответственностью, то α резко уменьшают.
Вывод: Практически достоверным мы называем событие, вероятность которого близка к единице.
Смысл закона больших чисел
Закон больших чисел, это ряд утверждений, в которых говорится, что при достаточно большом числе испытаний n практически достоверными являются следующие события:
1. Среднеарифметическое случайных величин сколь угодно мало отличается от среднеарифметического их математических ожиданий (устойчивость среднеарифметического);
2. Частость наступления событий сколь угодно мало отличается от вероятности наступления этого события (устойчивость частости);
Количественное выражение закона больших чисел
1. Лемма Чебышева или неравенство Маркова
Пусть случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание. Тогда для любого положительного числа А справедливо неравенство:
Пример: Пусть случайная величина Х – уровень воды в реке. Среднегодовой уровень равен 8 метров. Оценить вероятность того, что уровень воды не превзойдет 10 метров.
Ответ: С вероятность не меньше, чем 0,2 можно утверждать, что уровень воды не превзойдет 10 метров.
2. Неравенство Чебышева для симметричного интервала
Пусть случайная величина Х имеет математическое ожидание и дисперсию (М(х) и D(х)). Рассмотрим интервал, симметричный относительно математического ожидания.
применим к неотрицательной случайной величине y неравенство Маркова
Пример: Пусть случайная величина Х – число попаданий при 100 выстрелах. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Можно ли применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число попаданий заключено в границах от 72 до 90? Как рекомендуется изменить правую границу? После применения неравенства Чебышева уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Ответ: С вероятностью не менее, чем 0,75 можно утверждать, что число попаданий заключено в интервале от 72 до 88.
Уточним результат с помощью 1-го следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа для числа успехов в симметричном интервале:
Вывод: полученный результат не противоречит, а уточняет предыдущую оценку.
3. Неравенство Чебышева для среднего арифметического случайных величин
Пусть даны независимые случайные величины X1, Х2, …, Хn имеющих математические ожидания a1, a2, …, an и дисперсии, каждая из которых ограничена числом С , тогда справедливо неравенство:
Пояснение к доказательству: неравенство 4 применяется к среднему арифметическому случайных величин.
Пример: Имеется 100 участков, засеянных пшеницей. Рассмотрим случайные величины X1, Х2, …, Х100 – урожайность с каждого участка. Средняя урожайность на каждом участке составляет 40 центнеров с гектара. А средние квадратические отклонения этих случайных величин не превосходят 2-х центнеров. Оценить вероятность того, что средняя урожайность со всех участков отличается от средней на каждом участке не более чем на 3 единицы.
Ответ: С вероятностью не менее чем 0,99, можно утверждать, что средняя урожайность со всех участков отличается от средней на каждом участке не более чем на 3 единицы.
4. Теорема Чебышева об устойчивости среднего арифметического
перейдем к переделу в обеих частях неравенства при
Правая часть формулы 4 стремится к 1, а левая не может быть больше 1, т.к. является вероятностью. Тогда в переделе получаем равенство:
т.е. говорят, что среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности среднего арифметического их математических ожиданий.
Теорема Чебышева
При достаточно большом n практически достоверно, что среднее арифметическое случайной величины сколь угодно мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий (устойчивость среднего арифметического).
5. Неравенство Чебышева для доли или частости (неравенство Бернулли)
Замечание:
По неравенству 7 можно оценить либо вероятность P, либо отклонение ε, либо число испытаний n (см. аналогичные задачи 2-е следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа).
Пример: Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3. произведено 100 выстрелов. Оценить вероятность того, что процент попадания будет заключен в пределах от 25% до 35%. Уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Ответ:
С вероятностью не менее, чем 0,16 можно утверждать, что процент попадания будет заключен в пределах от 25% до 35%.
Вывод: полученный результат не противоречит, а уточняет предыдущую оценку.
Пример:
В условиях предыдущей задачи оценить количество выстрелов, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 можно было гарантировать отклонение ε = 0,05.
Ответ: Нужно произвести не менее 420 выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 гарантировать отклонение ε = 0,05.
6. Теорема Бернулли
Теорема Бернулли
При достаточно большом числе испытаний n практически достоверно, что частость сколь угодно мало отличается от вероятности наступления события (устойчивость частости).