Определение: Случайная величина называется нормально-распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:
Замечание: нормальный закон распределения зависит от двух параметров: a, σ (σ2) (N(a;σ)).
Можно доказать, что математическое ожидание ХN равно a.
Пример: Написать плотность вероятности
Функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности и имеет вид:
Замечание: т.к. Φ(t) – затабулирована, то для нормального закона распределения, можно вычислить любые вероятности. Графиком плотности вероятности нормального закона распределения является кривая Гаусса.
Замечания:
1. график симметричен относительно прямой х = а (математическое ожидание);
2. чем больше дисперсия σ2, тем ниже max и тем шире пик кривой, т.е. ее разброс, относительно среднего значения.
Вычисление вероятности для нормального закона распределения.
Правило трех сигм.
Практический вывод: Значение нормальной случайной величины, которое отличается от математического ожидания более чем на 3σ, практически не встречаются.
Задача: Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону.
Понятие о теореме Ляпунова
Пусть имеется n независимых случайных величин, каждая из которых имеют математическое ожидание и дисперсию. Пусть, кроме того, выполняется условие Ляпунова, которое заключается в том, что каждая из этих случайных величин вносит примерно одинаковый вклад в их сумму, тогда сумма и среднее арифметическое этих случайных величин имеют нормальный или почти нормальный закон распределения.