1. Математическое ожидание.
Пояснение: математическое ожидание характеризует значение случайной величины.
Определение: Математическим ожиданием называется сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности
Пример
Вычислите математическое ожидание
Свойства математического ожидания
2. Дисперсия.
Пояснение: дисперсия характеризует средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
Определение: Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания.
Пример:.
Свойства дисперсии
Доказательство:
Пример.
Вычислить дисперсию по формуле.
3. Среднее квадратическое отклонение.
Пояснение: характеризует средний разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.
Пример.Числовые характеристики суммы и среднего арифметического случайных величин.
Пусть заданы n независимых случайных величин X1, Х2, …, Хn имеющих математические ожидания a1, a2, …, an и дисперсии σ2, σ2,…, σ2. рассмотрим
случайную величину Y, равную их сумме (Y = X1 + Х2 + …+ Хn) и случайную величину Z, равную их среднему арифметическому
тогда математическое ожидание их суммы равно суме их математических ожиданий
дисперсия суммы равна
математическое ожидание среднего арифметического равно
дисперсия среднего арифметического равна
Частные случаи: если a1 = a2 = …= an , т.е все математические ожидания одинаковы, то
Замечания:
1. Формулы 1-4 следуют из свойств математического ожидания и дисперсии.
2. из формулы 4 следует, что дисперсия среднего арифметического случайных величин в n раз меньше, чем дисперсия каждого из слагаемых, поэтому для уменьшения ошибки рекомендуется использовать среднее арифметическое.