О притяжении решений системы
Лотки-Вольтерра с бесконечным запаздыванием.
Современное математическое моделирование для описания различных
явлений широко использует функционально-дифференциальные уравнения
запаздывающего типа. Необходимость учета запаздывания обуславливается
особенностями описываемого процесса, либо, для управляемой системы, структурой управления.
Наряду с уравнениями с ограниченным запаздыванием, широкое применение в моделировании находят уравнения с неограниченным и бесконечным запаздыванием. В работе исследуется асимптотическое поведение решений неавтономной
системы Лотки–Вольтерра.
Система и ее различные модификации широко используются в моделировании
динамики взаимодействия нескольких биологических видов и активно исследуются в последние десятилетия. Укажем здесь ссылки лишь на некоторые работы (заметим, что во всех перечисленных исследованиях
полагается. Вопрос о существовании
положительного периодического решения системы с периодическими по коэффициентами
рассматривался.
Условия существования периодического (почти периодического)
решения скалярного уравнения вида в случае периодических (почти
периодических) по коэффициентов обсуждались также в,
там же представлено доказательство существования глобально притягивающего положительного
решения. Данная работа посвящена исследованию достаточных условий сходимости
решений к некоторому постоянному
положительному вектору,
не являющемуся равновесием системы. При
этом коэффициенты системы могут не являться ни периодическими, ни почти периодическими.
В
первом разделе статьи представлены некоторые результаты об асимптотической устойчивости
для уравнений с неограниченным и бесконечным запаздыванием, полученные на
основе
метода функций и теории допустимых пространств с исчезающей памятью.
Получены утверждения об асимптотическом поведении ее решений (при некоторых ограничениях на правую часть системы), развивающие и дополняющие ранее разработанную теорию систем Лотки–Вольтерра. Иллюстративный пример, а также заключительные
замечания и выводы приводятся в последнем разделе статьи. Представленные утверждения развивают и обобщают, в частности, результаты работ, доказанные для уравнений с бесконечным запаздыванием, и применимы
также
к уравнениям с ограниченным и неограниченным запаздыванием. Достаточные условия
асимптотической
устойчивости,
сформулированные Теореме, позволяют,
во-первых, выбирать
подходящее фазовое пространство для уравнения с учетом структуры последнего
(при
этом, в отличие от большинства известных результатов, для доказательства равномерной асимптотической устойчивости память не
обязана быть равномерно исчезающей); во-вторых, использовать в исследовании простые функции
(за счет ослабления достаточных условий асимптотической устойчивости
и сходимости). Применение предложенных
результатов к системе Лотки–Вольтерра иллюстрирует их эффективность. Полученные утверждения развивают результат,
где исследуется сходимость решений к функции (не обязательно постоянной), удовлетворяющей системе. Для исследования использовался
довольно громоздкий функционал, а полученные достаточные условия
сходимости отличаются от приведенных зависимостью от запаздываний.
