Интервальное оценивание
Заменяя неизвестный параметр θ его оценкой Х, мы допускаем некоторую ошибку ∆, т.е. .
∆ — называется предельной ошибкой выборки, т.е. предельная ошибка выборки – max отклонение по модулю оценки от оцениваемого параметра, которое мы можем гарантировать с определенной надежностью.
Определение: Надежностью или доверительной вероятностью называется вероятность того, что оценка отличается от оцениваемого параметра не более, чем на ∆.
(17) — доверительная вероятность (надежность).
Р – доверительная вероятность (надежность);
х – оценка, случайная величина;
θ – неизвестный параметр, число;
∆ – предельная ошибка выборки;
Доверительная вероятность при оценивании среднего значения.
Пусть требуется оценить неизвестное генеральное среднее, т.е. параметр . В соответствие с теоремой 3 его оценкой является выборочная средняя. По теореме 3 она имеет нормальный закон распределения, параметры которого известны из теоремы 1 (формулы 9 и 10).
Рассмотрим формулу *:
Применим формулу * к выборочной средней. Получаем:
(18) — доверительная вероятность для оценки выборочной средней, где:
Р – доверительная вероятность (надежность);
— выборочное среднее, случайная величина, оценка, имеет нормальный закон распределения;
— генеральное среднее, неизвестный параметр;
∆ — предельная ошибка выборки;
— средняя квадратическая ошибка для выборочной средней (среднее квадратическое отклонение для выборочной средней) (см. табл. 3).
Доверительная вероятность при оценивании генеральной доли (вероятности).
Пусть требуется оценить неизвестный генеральный параметр. Р – генеральная доля (вероятность), т.е. в формуле 17 неизвестным параметром является θ. В качестве оценки Х берем выборочную долю w (в соответствие с теоремой 4). Т.к. по теореме 2 выборочная доля w имеет нормальный закон распределения с параметрами 11, 12, то применим формулу * к случайной величине w:
(19) — доверительная вероятность для оценки доли, где:
Р – доверительная вероятность;
w – выборочная доля, случайная величина, имеет нормальный закон распределения, оценка;
р – генеральная доля или вероятность признака, неизвестный параметр;
∆ — предельная ошибка;
— средняя квадратическая ошибка для доли (см. табл. 3, 2-я строчка), среднее квадратическое отклонение для выборочной доли.