1.Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:
а) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда
a=c и b=d;
б) суммой чисел a + ib и c + id называется число
a + c + i(b +d);
в) произведением чисел a + ib и c + id называется число
ac – bd +i(ad+bc).
Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w). Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.
Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z = a + ib и обозначается Re z; пишут Re z =a или Re z=a или Re(a + ib) = a. Число b называется мнимой частью числа z= a +ib и обозначается Im z, пишут Im z = b или Im(a +ib) = b. Символ I называется мнимой единицей.
Заметим, что операции сложения и умножения над числами a+ i0 проводятся так же, как над действительными числами.
Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a =a+i0.
Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.
На основании формулы (2) найдём значение выражения i2=ii:
i2 = ii =(0+i1)(0+i1)= -1+i0=-1.
Таким образом,
i2=-1.
2.Свойства операций над комплексными числами.
1. Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.
2. Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)
3. z+0=z.
4. Коммутативность умножения: z1 z2= z2 z1.
5. Ассоциативность умножения: z3( z1 z2) =z1( z2 z3).
6. Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3) =z1 z2 + z1 z3.
7. 1*z=z.
8. Для любых двух комплексных чисел z1 и z2, где z1 , существует такое число z
такое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается .Деление на 0 невозможно.
3. Комплексная плоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствие точку M(a,b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна Re z = a, а ордината равна Im z = b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами (a,b) поставим в соответствие комплексное число z = a + ib.Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.
Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a + ib как вектор .
4. Модуль комплексного числа. Модулем комплексного
числа z = a +ib называется длина вектора, соответствующего
этому числу. Модуль обозначается или буквой r. Применяя
теорему Пифагора, получим, что = .
Пусть z = a +ib. Число a – ib называется комплексно сопряжённым с числом z = a +ib и обозначается ; = a – ib. Заметим, что = = , z = (a +ib)(a – ib)=a2 + b2= 2 = 2,
.
Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если
а)
.
б) .
.
Пример 2. Запишите решения системы
а) б)
в алгебраической форме.
Решение:
а)
б)
Пример 3.Существуют ли такие действительные числа x и y, для которых числа z1 и z2 являются сопряжёнными
а) z1=8×2 – 20i15, z2=9×2 – 4+ 10yi3;
б)z1=4x + y+(1+I)y, z2=8 + ix.
Решение:
а) z1=8×2 – 20i15=8×2 + 20i; z2=9×2 – 4+ 10yi3=9×2 — 4 — 10yi;
Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:
откуда такие сопряжённые числа существуют.
б)z1=4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi;
z2=8+ix.
Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:
откуда такие сопряжённые числа существуют.
5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.
Пусть z1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторы с координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствовать вектор с координатами (a1 + a2,b1+b2).Таким образом, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы, отвечающие комплексным числам z1 и z2.
Аналогично, разности z1- z 2 комплексных чисел z1 и z2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль двух комплексных чисел z1 и z2 по определению модуля есть длина вектора z1- z 2.Построим вектор, как сумму двух векторов z2 и (- z1). Получим вектор , равный вектору .Следовательно, есть длина вектора ,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
6. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z= a + ib называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.
Для обозначения того факта, что число является аргументом числа z= a+ ib, пишут =arg z или =arg (a+ib).
Для числа z=0 аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что .Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно; число z=0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля .
С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если — некоторый аргумент числа z,то углы +2k, тоже являются аргументами числа z.
Из определения тригонометрических функций следует, что если =arg (a+ib),то имеет место следующая система
или (5)
Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений
а) б) в)
Решение:
а) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 3 и 1
найдём модуль1-i: .
Заметим, что никакая точка большей окружности не
приближена к меньшей на расстояние, равное ,
откуда и следует, что система корней не имеет.
б) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 2 и 1.
При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на
другую окружность.
Эта точка и будет решением системы.
в) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 1.
Заметим, что при сдвиге только двух точек на единицу в влево мы попадаем на ту же самую окружность, а значит эти два числа и будут решениями системы.
7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.
Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r- модуль, а — какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то есть r = ,=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что , и, значит,
.
Запись комплексного числа в виде называется её тригонометрической формой.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Решение:
а) Мы должны построить точки, которые при сдвигании вниз на i и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда
чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:
1) построить множество точек, равноудалённых от начала координат на 2
2) сдвинуть его на 1 влево и на i вверх
б) Мы должны построить точки, которые располагались бы ближе к точке -i чем к 2i ,а эти точки указаны на рисунке.
в) Данное уравнение равносильно уравнению
То есть эти числа будут удалены на расстояние
г) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,
на 1 вправо. При этом при выполнении второго условия, у на получится угол, показанный на рисунке.
д) Преобразуем первое условие:
То есть это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:
е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,
на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим
искомое множество точек.
Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения
а)
б)
в)
Решение:
Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа( и при всех тригонометрических функциях углы должны быть равны, а также если подсчитать значение выражения, то оно должно быть равно ).
8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть
,
Тогда
Таким образом, модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.
Пусть ,тогда
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.
9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если -аргументы чисел соответственно, то
Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень:
(8)
Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула (8) называется формулой Муавра.
Число называется корнем степени , из числа обозначается ,если
Если =0, то при любом n уравнение имеет одно и только одно решение z=0.
Пусть теперь .Представим z и в тригонометрической форме:
, .
Тогда уравнение примет вид
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2. Следовательно,
или
.
Таким образом, все решения уравнения даются формулой
В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем других комплексных чисел.
Формула (9) называется второй формулой Муавра.
Таким образом, если , то существует ровно n корней степени n из числа : все они содержатся в формуле(9).
В частности, если =2, то уравнение имеет два корня:
то есть эти корни симметричны относительно начала координат.
Также из формулы (9) нетрудно получить, что если то точки, изображающие все корни уравнения , являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в точке z=0 и радиусом .
Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например, используя запись , следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чисел i и-i,или одно, и, если одно, то какое именно.
Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:
а) ,
б) ,
в) .
Решение:
а)
б) Так как , то , откуда .
Так как , то , откуда
в) Так как , то , откуда .
10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
(10)
с действительными коэффициентами a, b, c. Там было показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой
где (11)
В случае, если , говорилось, что, уравнение не имеет решений.
Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:
откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, c являются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.
Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение
всегда разрешимо. Если уравнение имеет один корень; , уравнение имеет два корня. Во всех случаях для корней квадратного уравнения справедлива формула
где под подразумеваются все значения корня.
Пример 8. Решить уравнение
а)
б)
Решение:
а) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
Для определения всех значений положим
Тогда
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
причём x и y действительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При получим:
Решим уравнение (*): x4+15×2-16=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:
Поэтому
б) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
Для определения всех значений положим
Тогда
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
причём x и y действительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При получим:
Решим уравнение (*): x4-16×2-225=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:
Поэтому
Пример 9. Решить уравнение
а)
б)
Решение:
а) Пусть , тогда уравнение примет вид:
, откуда по теореме, обратной теореме Виета получим
Возвращаясь к z, получим
1) . Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:
1) . Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:
Следовательно,
2) . Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:
Следовательно,
б)Преобразуем уравнение:
Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:
Пример10. Решите уравнение:
Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно z2: D=
Пусть z=a+ib, тогда , а уравнение имеет вид
Пусть , тогда , откуда
Пусть , тогда , а значит получим, что
Ответ: