Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.
Пример ДСВ – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.
Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).
Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.
Функцией распределения случайной величины называется функция
,
определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .
Свойства функции распределения:
а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:
0 ≤ F(x) ≤ 1;
б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, то F(x2) > F(x1) ;
в) F(- ∞ ) = 0; F(+ ∞) = 1;
г) вероятность того, что случайная величина примет значение из
интервала (причем ), равна:
;
д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)
Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Многоугольники унимодального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений
Математическим ожиданием ДСВ называется среднее значение данной случайной величины
,
т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .
Свойства математического ожидания.
а) , где ;
б) ;
в) ;
г) если случайные величины и независимы, то .
Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).
Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5
.
Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.
Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.
Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания
,
.
Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания
Свойства дисперсии:
а) , где ;
б) ;
в) ,
где – ковариация двух случайных величин и ;
г) если и некоррелированы, то , тогда .
Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :
.
Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:
-1 0 1 2
0,1 0,2 0,1 0,6
Найти числовые характеристики СВ: , моду.
Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
СКО:
Мода равна 2.
Основные законы распределения дискретных случайных величин
1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно
0 1
Математическое ожидание: СВ X: .
Дисперсия: .
2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения:
0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:
0 1 2 ,,, ,,,
Математическое ожидание: .
Дисперсия: .
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).
Пример . В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.
Решение Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X — число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:
xi 0 1 2 3 4
pi 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016
значения pi=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле
!Задание построить многогранник распределения
3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, k, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона
,
где – параметр распределения Пуассона.
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром (для =0,5; 1; 2; 3,5; 5).
При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .
Математическое ожидание .
Дисперсия .
Пример В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V0 попадёт ровно n перчинок?
Решение
Если количество перчинок N велико, а отношение мало, то задача описывается распределением Пуассона.
В среднем, в ложке должны оказаться перчинок. Вероятность того, что в ложке окажется ровно n перчинок, равна В частности, при V = 10 л, л, N = 50 получаем (то есть одна перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:
• того, что в ложке окажется ноль перчинок, p0 ≈ 0,95123,
• того, что в ложке окажется одна перчинка, p1 ≈ 0,04756,
• того, что в ложке окажется две перчинки, p2 ≈ 0,00119,
• того, что в ложке окажется три перчинки, p3 ≈ 0,00002.
Как видим, pn очень быстро уменьшается с ростом n.
4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями
где 0 < p < 1, q=1 — p, m =1, 2, …
Пример геометрического распределения представлен на рисунке
Ряд геометрического распределения имеет вид:
xi 1 2 3 … m …
pi p pq pq2 … pqm-1 …
Очевидно, что вероятности pi образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название «геометрическое распределение»).
Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда
(так как есть сумма геометрического ряда при ).
Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Математическое ожидание СВ X, имеющей геометрическое распределение с параметром p,
Дисперсия , где q= 1-p.
Пример. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.
Решение. Случайная величина X — число сделанных выстрелов — имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:
xi 1 2 3 … m …
pi 0,6 0,24 0,096 … 0,6•0,4m …
По формулам
Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равна
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,6+0,24+0,096=0,936.
Ответы на вопросы:
1. Какие элементы лекции направлены на обеспечение лучшего усвоения материала аудиторией на уровнях:
• понимания; — основные определений.
• опознания; — формулы, графики, таблицы.
• воспроизведения; — примеры, графики.
• применения; — примеры.
• творческой деятельности. – решение примеров.
2. Чем конкретно использование электронных ресурсов повышает эффективность лекции?
Ответ: Электронные ресурсы повышают интерес у студентов, а также помогают преподавателю изложить материал как можно понятней с различными примерами и т.д.
3. Почему презентация способствует лучшему пониманию данного материала на лекции данной аудиторией?
Ответ: Т.к в презентации в сокращенной, и в понятной форме описана суть лекции, презентация более визуально, что задействует не только слухавую но и другие виды памяти
4. Почему используемая компьютерная программа способствует лучшему пониманию данного материала на лекции данной аудиторией?
Ответ: Потому что программный модуль является тестовым вариантом лекции, что способствует оценки знаний и и остаточного контроля знаний.
5. Что даст аудитории и самому лектору использование на лекции фрагментов теста?
Ответ: Фрагменты теста, дадут возможность лектору оценить степень внимания студентов и уяснить кто из них слушает лекцию внимательно, а кто отвлеченно.